第01期 - 等比数列求和

$1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 512 = \underline{\phantom{888}}$

解题技巧

使用构造法：

$1+1-1+2+2-2+4+4-4+8+8-8+\ldots+512+512-512$，得到 $2-1+4-2+8-4+16-8+\ldots+512-256+1024-512$，最终得出 $1024-1=1023$。

等比数列求和公式

一、确定数列性质

1. 首先观察这个数列：$1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 512$，可以发现这是一个首项为 $1$，公比为 $2$ 的等比数列。等比数列的通项公式为 $a_n = a_1q^{n - 1}$，其中 $a_1$ 为首项，$q$ 为公比，$n$ 为项数。
2. 对于这个数列，$a_1 = 1$，$q = 2$。要求的是这个等比数列前若干项的和。

二、等比数列求和公式

1. 等比数列求和公式为 $S_n=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$（$q\neq1$）。其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项和。
2. 在这个问题中，我们需要确定项数 $n$。由通项公式可得 $a_n = 512$，即 $a_1q^{n - 1}=512$。将 $a_1 = 1$，$q = 2$ 代入可得 $2^{n - 1}=512$。
   • 因为 $512 = 2^9$，所以 $2^{n - 1}=2^9$，从而得出 $n - 1 = 9$，即 $n = 10$。

三、计算求和

把 $a_1 = 1$，$q = 2$，$n = 10$ 代入等比数列求和公式 $S_n=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$，可得：

• $S_{10}=\frac{1\times(1 - 2^{10})}{1 - 2}$。
• 先计算 $2^{10}=1024$，则 $S_{10}=\frac{1 - 1024}{1 - 2}$。
• 分子 $1 - 1024=-1023$，分母 $1 - 2=-1$，所以 $S_{10}=\frac{-1023}{-1}=1023$。

综上所述，$1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 512$ 的和为 $1023$。