第02期 - 分数与份数

我们现在有方程组： $\begin{cases}a + b = 68\\\frac{a}{b + 9}=\frac{3}{4}\end{cases}$

解题技巧

分析分数与份数之间的关系，我们可以看作 $\frac{a}{b + 9}=\frac{3}{4}=\frac{\triangle\triangle\triangle}{\triangle\triangle\triangle\triangle}$，即 $a = \triangle\triangle\triangle$，$b + 9 = \triangle\triangle\triangle\triangle$。

同时我们将 $a + b = 68$ 这个式子等号两边同时加 $9$ 就可以得到 $a + b + 9 = 68 + 9$，即 $\triangle\triangle\triangle\triangle\triangle\triangle\triangle = 77$，因此 $\triangle=11$，所以 $a=3×11=33$，$b=68-33=35$。

正常解题

对第二个方程进行变形构造

由 $\frac{a}{b + 9}=\frac{3}{4}$，根据比例的性质“交叉相乘相等”，可以构造出：

$4a = 3(b + 9)$，进一步展开式子得到 $4a = 3b + 27$，再将其变形为 $a=\frac{3b + 27}{4}$。

代入第一个方程求解 $b$

把 $a=\frac{3b + 27}{4}$ 代入第一个方程 $a + b = 68$ 中，得到：

$\frac{3b + 27}{4}+ b = 68$

为了消除分母，方程两边同时乘以 $4$，构造出如下方程：

$3b + 27 + 4b = 68×4$

整理可得：

$7b + 27 = 272$

移项可得：

$7b = 272 - 27$

即 $7b = 245$

解得 $b = 35$。

求出 $a$ 的值

把 $b = 35$ 代入 $a + b = 68$，可得：

$a = 68 - 35 = 33$

所以，方程组的解为 $a = 33$，$b = 35$。