第07期 - 无穷嵌套根号求值

这是一个无穷嵌套根号的求值问题，通过设值未知数再平方求解，最终排除负值后得出结果。

求:56+56+56+⋯令：x=56+56+56+⋯x2=56+56+56+⋯x2=56+xx2−x−56=0(x−8)(x+7)=0x=8或x=−7(舍去)∴x=8\begin{aligned} &\text{求:} \quad \sqrt{56 + \sqrt{56 + \sqrt{56 + \cdots}}} \\ \\ &\text{令：} x = \sqrt{56 + \sqrt{56 + \sqrt{56 + \cdots}}} \\ \\ &\quad \quad x^2 = 56 + \sqrt{56 + \sqrt{56 + \cdots}} \\ \\ &\quad \quad x^2 = 56 + x \\ \\ &\quad \quad x^2 - x - 56 = 0 \\ \\ &\quad \quad (x - 8)(x + 7) = 0 \\ \\ &\quad \quad x = 8 \quad \text{或} \quad x = -7 \quad (\text{舍去}) \\ \\ &\therefore \quad x = 8 \end{aligned}